ニュートン力学から量子の運動方程式を導く方法

TL;DR

古典力学の位置と運動量を、量子力学では状態ベクトルと位置・運動量の演算子へ置き換える。ニュートンの運動方程式を位置と運動量が対等な形に書き直すことで、量子の時間変化を表す運動方程式を類推できる。

Transcript

高校で習う古典力学のニュートン運動方程 式から量子力学を導き出していくと漁師の 情報が全てわかるこれで計算した結果が 現実世界を説明しますかていうとばっちり 説明できるっていうのが分かっ た皆さんこんにちはTBSアナウンサーの 加藤ですテクノロジーの進化を掘り下げる 番組のお時間ですえ今回は今だからこそ 知っておきたい量子力学がテーマです ゲストは漁師とは何だろう基礎から鍛える 量子力学という諸学者向けの参考書の著者 で慶洋技術大学の松浦総教授にお越し いただきましたよろしくお願いいたします よろしくお願いしますさあ今回は古典力学 高校で習う古典力学のニュートン運動方程 式から子力学をき出していくということで え私ももう一度ノの使っていなかった筋肉 をもう筋トレしてあの先生にしがみついて い... Read More

Key Insights

• 古典力学は、ある時刻の位置と速度を初期条件として与えれば、ニュートンの運動方程式から後の時刻における物体の位置と速度を予測できる体系である。
• 日常的に見える物体の位置は、観測の細かさが十分でなかったために成立していた近似であり、微小な領域では見えたものを存在そのものとみなせない。
• 量子の位置は、一つの数ではなく、複数の場所に異なる濃さで同時に存在する重ね合わせとして表されるため、状態の記述にはベクトルが必要である。
• 状態ベクトルの各成分は、それぞれの位置に対応する係数であり、その絶対値の二乗が、観測したときに量子がその位置で見つかる確率を表す。
• 演算子は、状態ベクトルから位置や運動量に関する情報を取り出すための数学的な道具であり、位置演算子と運動量演算子が各観測量に対応する。
• 量子の状態は、状態ベクトルだけでなく、位置演算子と運動量演算子を組み合わせて記述され、この一組が量子について得られる情報の基礎となる。
• ニュートンの式F=maは、運動量p=mvを使えば力と運動量の時間変化の関係に書き換えられ、位置と運動量を対等に扱う形式へ変形できる。
• 量子の運動方程式は、古典力学をそのまま延長するだけでは得られず、古典式を量子で使える形に近づけた後、ベクトルと演算子の体系へ移る数学的な飛躍を必要とする。
• 🎬 このチャンネルの他の動画:
  • ジブリ風AI画像は著作権侵害になるのか？
  • 職場の同調圧力に対話と雑談で抗う方法とは？
  • 今だけ・自分だけ思考から抜け出す方法
• 📺 このチャンネル: TBS CROSS DIG with Bloomberg

Questions & Answers

Q: 古典力学から量子の運動方程式を導く方法は？

ニュートンの式F=maを、運動量p=mvと力学的エネルギーHを使って、位置と運動量が対等に現れる形式へ書き換えます。その構造を手掛かりに、古典的な位置と運動量を量子の状態ベクトルや演算子で扱う体系へ移し、量子状態の時間変化を表す方程式を類推します。

Q: 古典力学と量子力学の状態の違いとは何ですか？

古典力学では、ある時刻の位置と速度、または位置と運動量の組が物体の状態です。量子力学では一つの位置だけでは状態を表せないため、複数の可能性を含む状態ベクトルと、位置演算子、運動量演算子の組によって状態を記述します。

Q: なぜ量子の状態にはベクトルが必要なのですか？

量子は複数の場所に異なる濃さで重なって存在でき、一つの位置を示す数だけでは全体を表せないからです。各位置に対応する係数を並べたベクトルを使えば、どの場所にどの程度の重なりを持つかという情報を、一つの状態としてまとめて表現できます。

Q: 量子の状態ベクトルの成分は何を意味しますか？

状態ベクトルの各成分は、それぞれの位置に対応する重なりの係数を意味します。係数そのものではなく、その絶対値の二乗が、その位置を観測したときに量子が見つかる確率を表し、位置に関する量子の情報を与えます。

Q: 量子力学の演算子とは何ですか？

演算子は、状態ベクトルから位置や運動量などの情報を引き出すために対応づけられた数学的な道具です。位置には位置演算子、運動量には運動量演算子があり、状態ベクトルと組み合わせることで観測可能な量に関する情報を扱います。

Q: ニュートンの運動方程式から未来の位置を求める方法は？

初期時刻の位置と速度を与え、まず力と質量から得られる加速度を時間について積分して速度を求めます。次に、その速度を時間について積分すれば位置が得られます。初期値を加えることで、任意の時刻における位置と速度を予測できます。

Q: なぜ見えている位置は近似だと考えられるのですか？

日常の観測が比較的粗い範囲では、物体が一つの明確な位置にあると考えても現実を説明できたからです。しかし観測装置が進歩して微小な領域を調べられるようになると、見えたものを存在そのものとする前提だけでは結果を説明できないことが分かりました。

Q: 位置と運動量を対等に扱うにはどう式を書き換えますか？

まずF=maの加速度を速度の時間微分にし、運動量p=mvを使って運動量の時間変化を表す式へ変形します。さらに力をポテンシャルの位置による変化として表し、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーを合わせたHを用いると、位置と運動量が対応する形式になります。

Summary & Key Takeaways

• 古典力学では、物体の位置と速度、または位置と運動量が、ある時刻における状態を表す。ニュートンの運動方程式F=maと初期の位置・速度が与えられれば、力を時間について積分して速度を求め、さらに速度を積分して位置を求められるため、後の時刻の運動を予測できる。

• 微小な世界では、物体が一つの場所にだけ存在するという古典的な前提では実験結果を説明できない。量子は複数の場所に異なる係数で重なった状態を取り、その全体を状態ベクトルで表す。各成分の係数の絶対値の二乗は、その位置で量子が見つかる確率を示す。

• 量子の情報を得るには、状態ベクトルに加えて位置演算子と運動量演算子が必要になる。そこで古典的な運動方程式を、力学的エネルギーを表すHを用いて位置と運動量が対等になる形式へ書き換える。この古典式を手掛かりに数学的なジャンプを行い、量子状態の時間変化を記述する方程式を構成する。