一夜之秋,一生受用的數據分析,桑惠敏主角。 親愛的聽眾朋友,大家好,我是桑惠敏。 本集主題是父子身高與回歸到平均數。 特別管的爸爸,他的家裡會比普通人還高,但是比他爸爸還矮哦。 首先跟大家分享一個經驗。 我曾到過一個蠟像館,跟NBA亞洲籃球運動員姚明的蠟像合照。 兩人的合照中,姚明看起來像個巨人。 看到巨人般的姚明會讓大家聯想到什麼呢? 我當時第一個念頭就是問,姚明的兒子會比姚明高嗎? 這個問題的答案與本專輯的內容息息相關。

本集目的有兩個。 一,認識生活中有許多回歸到平均數的現象。 二,認識回歸模式。 其中回歸模式為應變數與自變數以及隨機誤差的數學關係式。 關鍵字,回歸到平均數,回歸模式,應變數,自變數與隨機誤差。 我們可以萃取這些關鍵字的核心精神,整合在一首歌內。 歌詞如下。 特高的爸爸兒子也高,但比他爸爸矮。 回歸到平均數,神的巧安排。 今日說回歸變數間關係,隨機誤差加進來。 應變數與自變數,用回歸模式不用猜,不用猜。

旋律是兒歌,哥哥爸爸真偉大。 特高的爸爸兒子也高,但比他爸爸矮。 回歸到平均數,神的巧安排。 今日說回歸變數間關係,隨機誤差加進來。 應變數與自變數,用回歸模式不用猜,不用猜。 接著解釋上述的歌詞。 請聽我與大兒子帥安的對話。 帥安,你知道NBA亞洲籃球運動員姚明的身高嗎? 猜猜姚明將來的兒子身高會比姚明高嗎? 根據報導,姚明身高應該大於230公分。 根據我身邊朋友都比他們爸爸高的現象,

加上現代人越來越重視營養與運動, 我猜兒子身高應該會比姚明高。 你的看法呢? 我的看法是,對於一般身高的成年男性, 如身高介在160到190公分間,我同意你的看法, 但對於特別高的如姚明或特別矮的成年男性, 我就不同意你的看法。 對於特別高或特別矮的,為何你的看法不同呢? 根據1886年英國科學家法蘭西斯·高爾頓Gordon 研究豌豆的父代種子長度與子代種子長度的關係時發現 有回歸到平均數的現象,所以我認為 回歸到平均數也適用在人類的父子身高。 也就是說,特別高的爸爸, 他兒子會比他家族的一般人高, 但不太可能比他爸爸高。

以下我就簡單說成,特別高的爸爸, 兒子會比一般人高,但比他爸爸矮。 請注意,這裡的一般人是指該家族中的一般人, 是有條件的,而不是指一般的普羅大眾。 哦,所以這一講的主題, 裁定成父子身高與回歸到平均數。 對的,我看到姚明的蠟像, 第一個念頭就是聯想到 父子身高與回歸到平均數的課題。 你想想,如果特別高的爸爸,兒子又比爸爸高, 或特別矮的爸爸,兒子又比爸爸矮, 那最後會怎麼樣呢? 那最後會有很多高到天上去, 或矮到地上去的人類了。 可是我們也沒發現這種現象, 所以高騰的回歸到平均數, 應該也是用在人類的身高。 那回歸到平均數的理論是什麼呢?

雖然你問了一個好問題, 看到一個現象,我們就要推論 這個現象來自的真相是什麼。 回答你的問題之前,我先定義三個名詞。 名詞一,反應變數,簡稱為應變數。 應就是反應的應, 通常以大寫的英文字Y來表示, 例如兒子的身高。 名詞二,稱為自由變數, 簡稱為自變數。 通常以小寫的英文字X1、X2…來表示, 其中X1可以表示爸爸的身高, 其他X2、X3…可以表示媽媽的身高, 睡眠的時間,運動,營養等。 名詞三,誤差項,通常以大寫的英文字1表示, 我現在用一個數學等式來回答你的問題。 Y等於平均數加上誤差項1,

這個等式也稱為回歸模式。 其中第一部分平均數與X1、X2…有關, 是條件平均數, 如某家族的平均身高, 而不是普羅大眾的平均身高, 是用來描述確定性的關係。 第二部分是誤差大寫的1, 是用來描述隨機性的關係。 也就是說兒子身高的函數, 不是用因果關係來描述, 而是用機率關係來描述。 謝謝酸恩的提醒, 聯想到之前講過的因果論不足,機率論興起。 剛才我說的第二部分隨機因數大寫的1, 我還沒講清楚, 你認為要如何描述誤差大寫的1呢? 我認為誤差應該以常態分配來描述, 因為誤差有正有負, 而且我們期望誤差等於0,

也就是誤差應該可以用平均數為0的常態分配來描述, 可是常態分配的標準差, 我就不清楚該如何表示了。 酸恩你說的對, 誤差項以平均數為0的常態分配來描述是適當的。 至於標準差的值要如何決定是根據不同的應用。 假設某巨人家族的男士平均身高是190公分, 我們可以考慮兩種標準差的情況。 一,標準差是10公分, 那該家族的一員如姚明身高230公分, 就大於平均數加上3倍的標準差。 第二種情況標準差是6公分, 那身高230公分就大於平均數加6倍的標準差。 酸恩你記得常態分配的假設下誤差大於3倍標準差, 或大於6倍標準差的機率值是什麼嗎?

在常態分配的機率模式下, 平均數加減3個標準差以外的機率是0.003, 現在只考慮單邊大於3倍標準差, 所以機率是0.0015, 也就是千分之1.5,是個很小的數字。 在常態分配的機率模式下, 平均數加減6個標準差以外的機率是百萬分之0.002, 如果只考慮單邊大於6倍標準差, 那機率就是百萬分之0.001, 也就是十億分之一,那幾乎是等於0了。 酸恩你分析的對極了, 假設身高的標準差為6公分或10公分都是合理的, 230公分大於家族平均身高3倍或6倍的機率都很小, 這就是我認為姚明的兒子不太可能比姚明高的理論基礎。

你覺得有道理嗎? 我覺得很有道理。 特別高的爸爸兒子也高,但比他爸爸矮。 特別矮的爸爸兒子也比一般人矮,但比他爸爸高。 現在請你舉一個生活實例來解釋回歸到平均數。 我想到我考美國的學測能力考試, 也就是SAT,也是有這種現象。 如果我第一次考得特別好,那第二次就不會有第一次那麼好了, 真的回歸到平均數了。 你以考試分數來解釋回歸到平均數, 真是一個好的生活案例。 你可否寫出這類案例的理論模式呢? 我認為這類案例的理論模式應該是分數等於實力加上運氣。 講得真好,雖然我把你剛才講的分數等於實力加運氣, 在一般話寫成成功等於實力加運氣,

其中實力是我們要努力增進的, 實力如果強,運氣再差,結果也不會被運氣主導。 今天就講到這裡,謝謝收聽。 下一集主題是三分鐘回歸解百年天文奧秘。 最後祝親愛的聽眾朋友平安喜樂。